IEEE-754 单精度浮点数
1. 为什么需要 IEEE-754？
计算机底层只能存储二进制数据，也就是 0 和 1。整数可以比较直接地转成二进制，但小数的表示会复杂很多。
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| IEEE-754 标准 | norme IEEE-754 | IEEE-754 standard |
| 浮点数 | nombre à virgule flottante | floating-point number |
| 单精度浮点数 | nombre flottant simple précision | single-precision floating-point number |
| 双精度浮点数 | nombre flottant double précision | double-precision floating-point number |
| 二进制 | binaire | binary |
2. 单精度浮点数的 32 位结构
单精度浮点数，也就是很多语言里的 float，占用 32 bit。这 32 位被分成三个部分：
| 部分 | 位数 | 作用 | Français |
|---|---|---|---|
| 符号位 sign | 1 bit | 表示正负，0 为正，1 为负 | bit de signe |
| 指数位 exponent | 8 bit | 表示数值的尺度，也就是 2 的多少次方 | Exposant |
| 尾数位 fraction | 23 bit | 表示有效数字，也决定精度 | fraction / mantisse |
整体可以理解为：
一个浮点数 = 符号 × 有效数字 × 2 的指数次方
更接近标准写法：
value = (-1)^sign × significand × 2^exponent
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 符号位 | bit de signe | sign bit |
| 指数位 | exposant | exponent |
| 尾数位 | fraction / mantisse | fraction / mantissa |
| 有效数字 | chiffres significatifs | significant digits |
| 位 | bit | bit |
3. 偏移量：为什么指数要加 127？
单精度浮点数的指数位有 8 位，可以表示 0 ~ 255。但真实指数可能是负数，例如 2^-3。
为了避免直接存储负指数，IEEE-754 使用了 偏移量：
存储指数 = 真实指数 + 偏移量
对于单精度浮点数：
bias = 127
所以：
stored exponent = real exponent + 127
real exponent = stored exponent - 127
例如真实指数是 3：
stored exponent = 3 + 127 = 130
130 转成二进制是：
10000010
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 偏移量 | biais | bias |
| 真实指数 | exposant réel | real exponent |
| 存储指数 | exposant stocké | stored exponent |
| 阶码 | exposant / exposant réel | exponent |
4. 例子：8.5 如何存成单精度浮点数？
以十进制数 8.5 为例。
第一步：确定符号位
8.5 是正数，所以符号位是：
0
第二步：转成二进制
整数部分：
8 = 1000
小数部分：
0.5 = 0.1
所以：
8.5 = 1000.1₂
关于小数如何转化成二进制（我们用0.6875来举例）：
第三步：规格化
把小数点移动到第一个 1 后面：
1000.1₂ = 1.0001₂ × 2^3
所以真实指数是：
3
存储指数是：
3 + 127 = 130
二进制为：
10000010
第四步：处理尾数位
规格化结果是：
1.0001
对于规格数，最前面的 1. 是默认存在的，不需要存储，这叫做 隐藏位。
所以真正存入尾数位的是：
0001
尾数位一共 23 位，不足的部分在后面补 0：
00010000000000000000000
最终结果
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 规格化 | normalisation | normalization |
| 隐藏位 | bit implicite / bit caché | hidden bit |
| 尾数补零 | remplissage par zéros | zero padding |
5. 规格数、非规格数和特殊值
IEEE-754 的单精度浮点数可以分成三大类：
- 规格数 normal number
- 非规格数 subnormal number
- 特殊值 special values
5.1 规格数
当指数位既不全为 0，也不全为 1 时，这个数就是 规格数。
exponent: 00000001 ~ 11111110
规格数的有效数字形式是：
1.xxxxx
这里的 1. 是隐藏的，不存入 fraction。
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 规格数 | nombre normalisé | normal number |
| 隐含的 1 | 1 implicite | implicit 1 |
| 有效数字 | significande | significand |
5.2 非规格数
当指数位全为 0 时，这个数是 非规格数。
exponent = 00000000
非规格数不再隐藏 1.，而是使用：
0.xxxxx
它的作用是表示非常接近 0 的数，让浮点数从最小规格数到 0 之间有一个更平滑的过渡。
这个机制叫：
逐渐下溢 / gradual underflow
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 非规格数 | nombre dénormalisé / sous-normal | subnormal number |
| 逐渐下溢 | sous-dépassement graduel | gradual underflow |
| 下溢 | sous-dépassement | underflow |
5.3 特殊值：Infinity 和 NaN
当指数位全为 1 时，就是特殊值。
exponent = 11111111
然后根据尾数位区分：
| 指数位 | 尾数位 | 含义 |
|---|---|---|
| 全 1 | 全 0 | Infinity |
| 全 1 | 不全为 0 | NaN |
Infinity
- +Infinity 正无穷
- -Infinity 负无穷
它通常出现在浮点数上溢，或者某些除以 0 的浮点运算中。
NaN
NaN 表示：
Not a Number
也就是“不是一个数”。
常见情况：
0.0 / 0.0
sqrt(-1)
Infinity - Infinity
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 正无穷 | infini positif | positive infinity |
| 负无穷 | infini négatif | negative infinity |
| 非数 | pas un nombre | NaN / Not a Number |
| 特殊值 | valeurs spéciales | special values |
| 上溢 | dépassement / overflow | overflow |
6. 单精度浮点数为什么会丢失精度？
单精度浮点数只有 23 位 fraction，但规格数还会隐含一个 1，所以有效二进制位数大约是：
24 bit
这意味着它不能精确表示所有整数和小数。
例如：
16777216 = 2^24
这个数可以被单精度浮点数精确表示。
但是：
16777217 = 2^24 + 1
在单精度浮点数中无法精确表示，通常会被舍入成：
16777216
因为在这个数量级上，相邻两个可表示浮点数之间的间隔已经变成了 2。
所以：
- 16777216 可以表示
- 16777217 不能精确表示
- 16777218 可以表示
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 精度丢失 | perte de précision | loss of precision |
| 舍入 | arrondi | rounding |
| 可表示数 | nombre représentable | representable number |
| 相邻浮点数间隔 | écart entre flottants voisins | floating-point spacing |
| 机器精度 | précision machine | machine precision |
7. 浮点数间隔
浮点数不是连续的。它们更像是一组离散的点。
在某些范围内，两个相邻浮点数之间的距离很小；但数值越大，相邻浮点数之间的距离也会变大。
例如单精度浮点数中：
| 范围附近 | 相邻浮点数间隔 |
|---|---|
| 1 ~ 2 | 约 2^-23 |
| 8388608 ~ 16777215 | 1 |
| 16777216 ~ 33554430 | 2 |
| 更大的范围 | 间隔继续增大 |
这就是为什么大整数用 float 存储时会出现精度问题。
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 浮点数间隔 | espacement des nombres flottants | floating-point spacing |
| 离散值 | valeurs discrètes | discrete values |
| 连续小数 | nombres décimaux continus | continuous decimal numbers |
| 近似表示 | représentation approximative | approximate representation |
8. 为什么单精度大约只有 7 位十进制有效数字？
单精度浮点数的有效二进制位数约为 24 位。
因为：
2^24 = 16777216
而：
10^7 < 16777216 < 10^8
所以单精度浮点数大约能保证 7 位十进制有效数字。
注意，这里的“7 位有效数字”不是指只能存 7 位数字，而是指在发生舍入或精度丢失时，通常只能可靠保证大约 7 位十进制有效数字。
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 十进制有效数字 | chiffres significatifs décimaux | decimal significant digits |
| 二进制有效位 | bits significatifs binaires | binary significant bits |
| 可靠精度 | précision fiable | reliable precision |
9. Java 中的常见表现
在 Java 里：
float f = 16777217f;
System.out.println(f);
输出可能是：
1.6777216E7
也就是：
16777216
因为 16777217 无法被 float 精确表示。
另外：
Float.NaN == Float.NaN
结果是：
false
判断 NaN 应该使用：
Float.isNaN(x)
重要概念：
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 比较浮点数 | comparer des nombres flottants | compare floating-point numbers |
| NaN 判断 | test de NaN | NaN check |
| 误差范围 | marge d’erreur | error tolerance |
10. 学习时最重要的总结
IEEE-754 单精度浮点数可以这样记：
1 位符号位 + 8 位指数位 + 23 位尾数位
核心理解：
浮点数不是精确存储所有小数，而是在有限 bit 内近似表示数值。
最重要的几个点：
| 重点 | 解释 |
|---|---|
| float 只有 32 bit | 存储空间有限 |
| 指数决定范围 | 能表示多大或多小的数 |
| 尾数决定精度 | 能表示得多细 |
| bias 是 127 | 用来存储正负指数 |
| 规格数隐藏 1. | 节省 1 bit 精度 |
| 非规格数隐藏 0. | 用于表示接近 0 的小数 |
| Infinity 和 NaN 是特殊值 | 用于表示溢出或非法结果 |
| float 约 7 位十进制有效数字 | 超过后可能发生精度丢失 |
| 浮点数有间隔 | 数值越大，间隔越大 |
11. 法语术语速查表
| 中文 | Français | English |
|---|---|---|
| 浮点数 | nombre à virgule flottante | floating-point number |
| 单精度 | simple précision | single precision |
| 双精度 | double précision | double precision |
| 符号位 | bit de signe | sign bit |
| 指数 | exposant | exponent |
| 尾数 | mantisse / fraction | mantissa / fraction |
| 有效数字 | chiffres significatifs | significant digits |
| 偏移量 | biais | bias |
| 规格化 | normalisation | normalization |
| 规格数 | nombre normalisé | normal number |
| 非规格数 | nombre dénormalisé / sous-normal | subnormal number |
| 隐藏位 | bit implicite / bit caché | hidden bit |
| 正无穷 | infini positif | positive infinity |
| 负无穷 | infini négatif | negative infinity |
| 非数 | pas un nombre | Not a Number |
| 精度丢失 | perte de précision | loss of precision |
| 舍入 | arrondi | rounding |
| 上溢 | dépassement | overflow |
| 下溢 | sous-dépassement | underflow |
| 逐渐下溢 | sous-dépassement graduel | gradual underflow |
| 浮点数间隔 | espacement des nombres flottants | floating-point spacing |
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